Беляков Алексей Борисович

Тульская область, г. Тула, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 3 курс

НЕРАВЕНСТВО МАК-ЛАФЛИНА ДЛЯ 2N- И 4N-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ КАК УСИЛЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА КОШИ-БУНЯКОВСКОГО НА МНОЖЕСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И КВАТЕРНИОНОВ

Неравенства являются одним из часто встречающихся объектов в задачах математических олимпиадах и подчас вызывают сложности. Мое знакомство с неравенствами началось со школьной программы, затем в заданиях Всероссийской олимпиады школьников и вузовских олимпиадах. В 11 классе на олимпиаде я столкнулся с задачей, решение которой основывалось на применении неравенства Коши-Буняковского. Задача показалась мне очень красивой, а само неравенство натолкнуло на мысль о дальнейшем его изучении, обобщении и применении его при решении более сложных проблем. Это побудило меня включиться в научно-исследовательскую деятельность уже в 11 классе под руководством моего учителя математики.

Занимаясь исследованием я узнал, что одним из усилений неравенства Коши-Буняковского является неравенство Мак-Лафлина на случай 2n-последовательностей чисел. Однако классическое его доказательство показалось мне недостаточно красивым, поэтому я рассмотрел различные методы доказательства, включающие в себя как классические приемы, так и нестандартные (геометрический подход, использование тождества Лагранжа).

В ходе работы я провел аналогии между множеством действительных и комплексных чисел и показал, что неравенство Мак-Лафлина для 2n-последовательностей есть обобщение неравенства Коши-Буняковского на множестве комплексных чисел. Полученный результат привел к мысли рассмотреть обобщение неравенства Коши-Буняковского на «большем» множестве – множестве кватернионов. В результате я получил неравенство, которое является обобщением неравенства Мак-Лафлина, но уже на случай 4n-последовательностей чисел.

Моя исследовательская работа позволила получить не только конкретный результат, являющийся обобщением известного в олимпиадных кругах классического неравенства, но и провести взаимосвязь между различными разделами математики, показать красоту аналогий, возникающих при использовании различных, подчас несвязанных между собой техник и приемов.


Партнёры и дарители программы