Щебетов Андрей Сергеевич

г. Москва, Средняя общеобразовательная школа «Ломоносовская школа», 11 класс

О ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗЫ ЧЕБЫШЁВА В ДИАПАЗОНЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ДО 1015

Научный руководитель: Щебетов Сергей Дмитриевич, выпускник физического факультета Новосибирского Государственного Университета по специальности «Квантовая оптика» и Stanford Graduate School of Business по специальности MBA

Представленная работа относится к теории чисел. В 1853 году великий русский учёный П.Л. Чебышёв в письме к внуку Эйлера академику П.Н. Фуссу пришёл к заключению, что число простых чисел вида 4n + 3 до некоторого предела практически всегда больше, чем число простых чисел вида 4n + 1. С тех пор это утверждение и его обобщения во всём мире носят название «гипотезы Чебышёва» или «отклонения Чебышёва» («Chebyshev’s bias»). Оказалось, что гипотеза Чебышёва тесно связана с функцией распределения простых чисел, обобщённой гипотезой Римана и нолями L-функции Дирихле – основанием, на котором построена современная теория чисел.

В период с 1957 по 1996 год гипотеза Чебышёва была численно проверена в диапазоне простых чисел до 1012 для всех небольших модулей и их остатков (образно названных «гонками простых чисел»). При этом для многих модулей и пар остатков так и не было найдено ни одной зоны, в которой бы она нарушалась. В начале 2000-х было разработано несколько теоретических моделей и сделан ряд предсказаний относительно того, где могли бы находиться разыскиваемые зоны, в которых перестаёт быть справедливой высказанная Чебышёвым догадка. Все предсказанные зоны находились за пределами технических возможностей того времени. В 1994 году было доказано, что если обобщённая гипотеза Римана верна, то такие зоны должны не только встречаться, но и иметь ненулевую логарифмическую плотность 0 < δ(q;a,b) < 1 (и наоборот). В 2013 году канадские математики рассчитали и проранжировали логарифмические плотности для 120 различных сочетаний модулей и пар остатков. В первые 15 самых интересных пар и остатков с наибольшей логарифмической плотностью вошли остатки от деления по модулю 3, 4, 8, 12 и 24.

Целью данной работы была численная проверка гипотезы Чебышёва для различных небольших делителей по модулю (q = 3, 4, 8, 12, 24) и соответствующий пар остатков от такого деления методам прямого численного расчёта в диапазоне простых чисел от 1012 до 1015, который никогда раньше не проверялся математиками. Кроме того, для выбранных делителей были проверены и подтверждены все известные зоны изменения знака функции ∆q,a,b(x) = πq,a(x) - πq,b(x) до 1012, открытые с 1957 по 1996 год. Все проверенные автором модули и пары остатков образуют 15 первых и самых интересных «гонок простых чисел» из 120 в таблице логарифмических плотностей, упомянутой выше. На момент начала проекта были известны, да и то не в полном объёме, первые зоны изменения знака только по 4 из них (∆3,2,1(x), ∆4,3,1(x), ∆8,5,1(x), ∆24,13,1(x)) плюс единственная точка для ∆8,7,1(x), открытая в 2016 году. В результате реализации проекта было найдены первые зоны изменения знака еще для 4 «гонок простых чисел», включая первые неизвестные зоны для ∆12,5,1(x), ∆12,7,1(x), ∆24,17,1(x) и ∆24,19,1(x).

Всего автором в диапазоне от 1012 до 1015 были обнаружены 24 новых зоны изменения знака функций ∆q,a,b(x) = πq,a(x) - πq,b(x), при том что с 1957 по 1996 год было их было открыто всего 11. Часть этих зон оказались расположены значительно ниже, чем предсказывалось на основании теоретических моделей. Полные данные по всем существующим, а также по вновь обнаруженным зонам были опубликованы в OEIS в виде 18 новых или дополненных последовательностей, а также в репозитории на сайте автора и впервые стали доступны в полном объёме широкому кругу математиков, работающих в области теории чисел. По результатам работы подготовлена статья в журнал «Mathematics of Computation».


Партнёры и дарители программы